MATERI PRAKTIS TENTANG REFLEKSI (PENCERMINAN) PADA MATEMATIKA YANG MUDAH UNTUK DI INGAT

Jika segitiga ABC dicerminkan terhadap garis AC, maka semua titik yang berada di depan garis AC mempunyai bayangan di belakang garis AC. Sedangkan semua titik yang berada pada garis AC akan tetap letaknya, dan disebut titik tetap atau titik invarian.

Refleksi (Pencerminan) Terhadap Garis

a. Bayangan Suatu Titik

Gambar (i) berikut menunjukkan refleksi titik P terhadap cermin atau garis AB, dan titik P’ adalah bayangan dari P.

Gambar (ii) merupakan bentuk situasi abstrak dari situasi pada gambar (i).

Sifat-sifat yang terdapat pada refleksi yaitu:

1.   Jarak titik asal P terhadap cermin (garis) AB sama dengan jarak terhadap P’ terhadap cermin (garis) tersebut.

2.   Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya, yaitu PP’, tegak lurus terhadap cermin (garis) AB.

Pada refleksi tersebut, titik P dipetakan ke P’, ditulis P→P'. Sebaliknya, titik P’dipetakan ke P, ditulis P'→P. Kedua penulisan tersebut dapat digabungkan menjadi P↔ P'

b. Bayangan Suatu Garis

Garis AB pada gambar (i) direfleksikan terhadap garis KL. Bayangan garis AB dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut.

1.  Menentukan bayangan titik A, yaitu A’, dan bayangan titik B yaitu B’seperti ditunjukkan pada gambar(ii).

2.     Menghubungkan titik A’ dengan titik B’ (Gambar (iii))

Garis A’B’ pada gambar (iii) merupakan bayangan dari garis AB pada refleksi terhadap garis KL. Dengan demikian, setiap titik pada garis AB dipetakan ke titik-titik pada garis A’B’, dan sebaliknya.

Pada refleksi tersebut, terdapat hubungan-hubungan berikut:

Jadi, panjang AB = A’B’

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

Jika sembarang garis AB direfleksikan (dicerminkan) terhadap sebuah garis menghasilkan bayangan A’B’, maka: Panjang AB = A’B’      dan            AA’ // BB’

Refleksi Pada Bidang Koordinat

a. Refleksi terhadap sumbu koordinat

Titik A’ dan B’ adalah bayangan titik A dan B pada refleksi terhadap sumbu X sedangkan titik A’’ dan B’’ adalah bayangan titik A dan B pada refleksi terhadap sumbu Y.

Pada refleksi terhadap sumbu X, diperoleh:                    Pada refleksi terhadap sumbu Y, diperoleh:

A(4,2)↔A'(4, -2)                                                             A(4,2)↔A''(-4,2)

B(-6, -4)↔B'(-6,4)                                                          B(-6, -4)↔B''(6,-4)

Jadi, P(a,b)↔P'(a,-b)                                                      Jadi, P(a,b)↔P''(-a,b)

Pada refleksi terhadap sumbu X, maka:

P(a,b)↔P'(a, -b)

Pada refleksi terhadap sumbu Y, maka:

P(a,b)↔P''(-a,b)

CONTOH

1. Tentukan bayangan titik P(-12,25) pada refleksi terhadap:

a. Sumbu X,                        b. Sumbu Y.

Jawab:

a. Refleksi pada sumbu X, titik P(a,b)↔P'(a,-b). ⇠ koordinat x tetap

    Jadi, bayangan titik P(-12,25) adalah P'(-12, -25).

b. Refleksi pada sumbu Y, titik P(a,b)↔P'(-a,b). ⇠ koordinat y tetap

    Jadi, bayangan titik P(-12,25) adalah P'(-(-12), 25) = P'(12,25).

2. Titik Q(27,-18) direfleksikan terhadap sumbu X, kemudian bayangannya direfleksikan terhadap sumbu Y. Tentukan koordinat titik bayangan terakhir!

Jawab:

Jadi, koordinat titik bayangan terakhir adalah Q''(-27,18).

b. Refleksi terhadap garis yang sejajar dengan sumbu koordinat

Pada refleksi terhadap garis x = h, maka:

P(a,b) ↔ P'(2h - a, b)

Pada refleksi terhadap garis y = h, maka:

P(a,b) ↔ P'(a, 2h - b)

CONTOH

1. Tentukan koordinat bayangan titik P(-5,-2) jika direfleksikan terhadap garis x = -1 !

Jawab:

Pada refleksi terhadap garis x = h, maka:

P(a,b) ↔P'(2h - a, b). ⤎ koordinat x (absis) berubah, koordinat y tetap

Garis x = -1, maka h = -1.

Titik P(-5,-2), maka a = -5 dan b = -2

Absis titik P' adalah 2h - a = 2 (-1) - (-5)

                                         = -2 + 5

                                         = 3

Jadi, bayangan titik P(-5,-2) adalah P'(3, -2)

c. Refleksi terhadap garis x = y dan x = -y

Gambar (i) menunjukkan refleksi titik A dan B terhadap garis dengan persamaan x = y atau y = x. Titik A’ dan B’ adalah bayangan titik A dan B pada refleksi tersebut.

Dengan demikian, pada refleksi terhadap garis x = y atau y = x diperoleh:

A(5,2) ↔ A'(2,5) dan B(-5,3) ↔ B'(3,-5)

Jadi, P(a,b) ↔ P'(b,a)  ⤎ absis dan ordinat dipertukarkan

Gambar (ii) menunjukkan refleksi titik C dan D terhadap garis dengan persamaan x = -y atau y = -x. Titik C’dan D’ adalah bayangan titik C dan D pada refleksi tersebut. Dengan demikian, pada refleksi terhadap garis x = -y atau y = -x diperoleh:

C(3,6) ↔ C'(-6,-3) dan D(4,-1) ↔ D'(1,-4) 

Jadi, P(a,b) ↔ P'(-b,-a)  ⤎  tanda berlawanan, absis dan ordinat dipertukarkan'

Pada refleksi terhadap garis x = y atau y = x, maka:

P(a,b) ↔ P'(b,a) 

Pada refleksi terhadap garis x = -y atau y = -x, maka:

 P(a,b) ↔ P'(-b,-a)

CONTOH

Tentukan koordinat bayangan titik S(12, -7) jika direfleksikan terhadap garis dengan persamaan berikut.

a.       x = y                                         b.  x = -y

Jawab:

a. 

S(12, -7) ↔ S'(-7,12)

Jadi, bayangan titik S(12,-7) adalah S'(-7,12).

b. 

S(12,-7) ↔ S'(7,-12)

Jadi, bayangan titik S(12,-7) adalah S'(7, -12).

Share this post