CARA MUDAH MEMAHAMI DAN MENYELESAIKAN MASALAH YANG TERKAIT DENGAN PERBANDINGAN BERBALIK NILAI PADA MATEMATIKA

Hubungan antara ukuran dari gigi dengan kecepatannya adalah perbandingan berbalik nilai. Dari gambar, gir A memiliki banyak gigi dua kali lipat dari gigi yang dimiliki oleh gir B. Sehingga, jika gir A berputar satu kali, gir B akan berputar dua kali. Misalkan jika gir A berputar empat putaran, maka gir B berputar delapan kali putaran.

Misalkan Pak Agus adalah seorang penyedia jasa tukang bangunan (kuli bangunan). Beliau berpengalaman dalam proyek-proyek pembangunan rumah tinggal, karena beliau sendiri juga seorang tukang bangunan. Beliau menjelaskan bahwa dalam menyelesaikan sebuah rumah yang berukuran 12,5 m × 7 m  diselesaikan oleh 5 tukang, termasuk Pak Agus sendiri, selama 2 bulan sampai selesai. Untuk mempercepat penyelesaian bangunan, Pak Agus sanggup menyediakan tukang tambahan sesuai dengan permintaan pelanggan. Pak Agus dan 9 temannya pernah membangun rumah selama 1 bulan. Nah, coba kalian duga, berapa lama waktu yang dibutuhkan oleh Pak Agus dan 5 orang temannya untuk menyelesaikan sebuah rumah dengan ukurannya yang sama seperti di atas? Jika pelanggan Pak Agus ingin memiliki rumah yang bisa diselesaikan selama 25 hari, berapa pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pembangunan rumah? Bagaimana strategi untuk menyelesaikannya?

Dua masalah di atas merupakan contoh situasi perbandingan berbalik nilai. Kalian akan mempelajari konsep selengkapnya di sini.

Kecepatan dan Waktu Tempuh

Alan mengendarai sepeda motor dan menempuh jarak 480 km ketika mudik. Setiap kali mudik, dia mencoba dengan kecepatan rata-rata yang berbeda dan mencatat lama perjalanan. Tabel di bawah ini menunjukkan kecepatan rata-rata motor dan waktu yang ditempuh.

Kecepatan rata-rata (x) (km/jam)	80	75	60	40
Waktu (y) (jam)	6	6,4	8	12

Alan menguji tabel yang dibuatnya untuk mengetahui hubungan antara kecepatan dan waktu selama perjalanan yang berjarak 480 km.

CONTOH I

Alan ingin mengetahui lama perjalanan yang ditempuh jika dia mengendarai sepeda motor dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam.

Jawab:

Alan menyelesaikannya seperti berikut.

80 × 6 = 480

75 × 6,4 = 480

60 × 8 = 480

40 × 12 = 480

480 merupakan konstanta perbandingan.

xy = 480, atau y = 480 / x

y = 480 / x menyatakan hubungan antara dua variabel.

Kali ini, perbandingan (rasio) y/x tidak selalu sama. Sedangkan hasil kalinya, x × y adalah konstanta, yang selalu sama. Karena hasil kali kedua variabel adalah konstan, kondisi ini dikatakan perbandingan berbalik nilai. y berbanding terbalik terhadap x.

Hubungan ini dapat ditunjukkan oleh persamaan x y = k, atau y = k/x, k adalah konstanta.

Waktu yang ditempuh = 480 / kecepatan rata-rata sepeda motor yang dikendarai

             y                     = 480 / x

            y                     = 480 / 50

            y                     = 9,6

Jadi, lama perjalanan yang ditempuh Alan jika mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 50 km/jam adalah 9,6 jam.

Alan menggunakan persamaan untuk menentukan waktu yang ditempuh dengan kecepatan 50 km/jam. Dengan mensubstitusi 50 km/jam untuk nilai x, dapat ditentukan nilai y, waktu yang ditempuh.

CONTOH II

Berdasarkan masalah pada CONTOH I, gambarlah grafik persamaan yang menyatakan perbandingan antara kecepatan rata-rata dan waktu yang ditempuh.

Jawab:

Kita tahu bahwa persamaan yang terbentuk adalah y = 480 / x. y adalah waktu yang ditempuh dan x adalah kecepatan rata-rata. Dengan menggunakan tabel berikut, kita dapat membuat grafik yang terbentuk.

Kecepatan rata-rata (x) (km/jam)	80	75	60	40
Waktu (y) (jam)	6	6,4	8	12
Pasangan terurut (x,y)	(80,6)	(75, 6,4)	(60,8)	(40,12)

Grafik yang terbentuk adalah sebagai berikut.

Perhatikan bahwa grafik yang terbentuk dari persamaan perbandingan berbalik nilai tidak melewati titik asal (0,0) dan tidak memotong sumbu koordinat.

CONTOH III

Grafik di atas, x dan y menunjukkan perbandingan berbalik nilai. Manakah persamaan berikut yang menyatakan hubungan x dan y?

Jawab:

a.    y = - (2/x)

b.    y = 2/x

c.    y = - 2x

d.    y = 2x

Grafik tersebut melalui (2,1). Substitusi nilai x dan y untuk memperoleh nilai k.

y = k/x

1 = k/2

2 = k

Jadi, persamaan grafik yang dimaksud adalah 1 = k/2. Jawaban yang benar adalah b.

Selain kecepatan dan waktu yang berbanding terbalik, terdapat beberapa masalah sehari-hari yang saling berbanding terbalik. Misalkan banyak pekerja dan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan.

Banyak pekerja (orang)	Waktu yang dibutuhkan (hari)
6	30
10	18
12	15
15	12
20	9
30	6

Tabel di atas menunjukkan hubungan antara banyak pekerja dan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan. Perhatikan baris pertama dan keenam.

Perbandingan banyak pekerja dan waktu yang dibutuhkan pada kedua baris saling berkebalikan. 6/30 untuk baris pertama dan 30/6 untuk baris keenam. Hal serupa juga akan terlihat, misalnya pada baris ketiga dan keempat. Pada pembahasan sebelumnya, hubungan yang saling berkebalikan ini memiliki hal yang sama. Hasil kali kedua besaran, yakni banyak pekerja dengan waktu yang dibutuhkan pada setiap baris adalah sama.

CONTOH IV

Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 12 orang dalam waktu 20 hari. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan itu apabila dikerjakan oleh 6 orang?

Jawab:

Masalah di atas dapat diselesaikan dengan membuat tabel seperti berikut.

Banyak pekerja	Waktu yang dibutuhkan (hari)
12	20
6	h

Dengan menggunakan konsep perbandingan berbalik nilai, diperoleh

  12 / 6  = h / 20

12 × 20 = h × 6

    240   = h × 6

240 / 6  = h

     h      = 40

Jadi, pekerjaan akan selesai dalam waktu 40 hari apabila dikerjakan oleh 6 orang.

Share this post