CARA MUDAH MEMPELAJARI PELUANG TEORETIK PADA MATEMATIKA

Tahukah kamu, mengapa sebelum kick-off wasit melambungkan koin dan bukan melambungkan dadu?

Ya, benar, karena koin tersebut dianggap adil untuk mewakili kesempatan kedua kesebelasan.

Koin hanya akan memunculkan dua kemungkinan, yaitu heads dan tails. Dengan demikian, salah satu kesebelasan pasti memenangi undian dalam satu kali lambungan.

Berbeda dengan koin, dadu 6 sisi akan memunculkan enam kemungkinan. Dengan demikian,belum tentu pemenang undian muncul dalam satu kali pelambungan. Tentu dengan anggapan satu tim hanya boleh memilih satu sisi dadu.

Dalam bahasa Matematika, jika dadu yang digunakan untuk mengundi, dikatakan peluang sebuah kesebelasan hanya 1/6. Lebih rinci lagi, bilangan 1/6 itu dinamakan peluang teoretik kasus tersebut. 

A. PENGERTIAN PELUANG TEORETIK

Peluang teoretik adalah rasio dari hasil yang dimaksud dengan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan tunggal. Jadi, peluang teoretik dapat ditentukan meskipun percobaan tidak dilakukan. Peluang teoretik disebut juga peluang klasik atau sering hanya disebut peluang.

Nilai peluang berkisar antara 0 hingga 1. Jika peluang sebuah kejadian 0, artinya peluang tersebut tidak mungkin terjadi. Sebaliknya, jika peluang sebuah kejadian 1, peluang tersebut pasti terjadi.

Perhatikan contoh peluang berikut.

Peluang muncul mata dadu 5 = 1/5 

Peluang muncul mata dadu lebih dari 2 = 4/6 = 2/3  

Peluang muncul mata dadu kurang dari 7 = 6/6 = 1  

Peluang muncul mata dadu genap = 3/6 = 1/2  

Peluang muncul mata dadu 8 = 0/6 = 0

  

Dari keterangan tersebut diketahui bahwa kisaran nilai peluang terletak dalam interval 0 sampai dengan 1. Kisaran nilai peluang tersebut digambarkan sebagai berikut.

B. FREKUENSI HARAPAN

Misalkan dilakukan percobaan pelambungan dua keeping uang logam sebanyak 20 kali. Ternyata muncul sisi keduanya angka (A,A) sebanyak 5 kali. Pelambungan diperbanyak hingga 100 kali. Ternyata sisi keduanya angka (A,A) muncul sebanyak 28 kali.

Untuk mencari banyak kejadian tertentu dalam suatu percobaan (seperti 5 dan 28 kali) dapat didekati dengan suatu nilai yang disebut frekuensi harapan dan dinotasikan dengan f_H.

Jadi, frekuensi harapan = banyak kejadian yang diharapkan dalam suatu percobaan.

Perhatikan tabel. Oleh karena peluang muncul sisi keduanya angka P(A,A) = 1/4 dan banyak percobaan 100, kamu pasti berharap dalam 100 percobaan minimal muncul sisi angka = (1/4) × 100 = 25.

Dengan demikian, dapat diperoleh sebagai berikut.

Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak N kali dengan peluang kejadian K adalah P(K), maka frekuensi harapan kejadian K :

f_H(K) = P(K) × N

C. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang terdiri atas beberapa kejadian. Misalkan kejadian muncul mata dadu prima atau mata dadu genap pada pelemparan sebuah dadu.

Berikut ini rumus peluang kejadian majemuk.

Misalkan : P(A) = peluang kejadian A

                 P(B) = peluang kejadian B

                 P(A∩B) = peluang kejadian A dan kejadian B

Maka peluang kejadian A atau kejadian B adalah : 

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

dengan P(A∩B) = n(A∩B) / n(S)

Jika P(A∩B) = 0 maka kejadian A dan kejadian B disebut kejadian saling lepas.

Dengan demikian, peluang kejadian saling lepas dapat dirumuskan sebagai berikut.

P(A∪B) = P(A) + P(B)

D. HUBUNGAN ANTARA PELUANG EMPIRIK DAN PELUANG TEORETIK

Secara garis besar, peluang empirik dihitung berdasarkan percobaan yang telah dilakukan. Kemudian, hasil percobaan tersebut digunakan untuk menentukan nilai peluang empirik.

Berbeda dengan peluang empirik, peluang teoretik tidak dihitung berdasarkan percobaan. Peluang teoretik dihitung berdasarkan kondisi alat atau bahan saja. Meskipun berbeda, peluang empirik dan peluang teoretik saling berhubungan.

1. Menduga Hasil Percobaan

Misalkan kamu mempunyai satu uang logam. Kamu akan melambungkan uang logam tersebut sebanyak 20 kali. Ingat, peluang muncul angka (A) dalam satu kali pelambungan adalah 1/2. Begitu juga dengan peluang muncul gambar (G).

Dengan demikian, sebelum melambungkan uang logam kamu dapat menduga kemunculan angka (A) maupun gambar (G).

a.     Kemunculan angka = (1/2) × 20 = 10 kali

b.     Kemunculan gambar = (1/2) × 20 = 10 kali

Setelah kamu melambungkan uang logam sebanyak 20 kali, apakah kemunculan angka tepat 10 kali? Apakah kemunculan gambar juga tepat 10 kali? Belum tentu, mungkin saja tepat 10 kali, mungkin juga tidak.

Kemunculan angka tidak akan lebih dari 20 kali, begitu juga dengan kemunculan gambar. Tentu karena pelambungan uang dilakukan 20 kali saja. Jadi, tidak mungkin kemunculan angka atau kemunculan gambar akan melebihi banyak pelambungan.

Pada dasarnya kamu dapat menebak berapa saja kemunculan angka dan kemunculan gambar. Akan tetapi, dengan peluang teoretik tebakanmu dapat lebih terarah.

2. Membandingkan Hasil Percobaan dan Peluang Empirik

Misalkan kamu melambungkan uang logam sebanyak 20 kali. Hasilnya dicatat dalam tabel berikut.

Ternyata angka tidak muncul 10 kali, melainkan 12 kali. Gambar muncul sebanyak 8 kali. Dengan demikian, peluang empirik yang diperoleh adalah 12/20 atau 3/5 dan 8/20 atau 2/5.

Secara umum, semakin banyak percobaan dilakukan, nilai peluang empirik akan semakin mendekati nilai peluang teoretik. Konteks mendekati ini dapat berarti nilai peluang empirik bisa lebih dari nilai peluang teoretik maupun bisa kurang dari nilai peluang teoretik.

Jadi, untuk n semakin besar, nilai peluang empirik akan semakin mendekati nilai peluang teoretik.

CONTOH

1. Sekumpulan kartu berturut-turut diberi nomor 10 hingga 29. Jika 1 kartu diambil secara acak, tentukan peluang terambil kartu bernomor habis dibagi 3.

Jawab:

Kartu bernomor 10, 11, 12, 13, ..., 29

Jumlah kartu = n = 20.

Misalkan A = kejadian terambil kartu yang bernomor habis dibagi 3

A = {12,15,18,21,24,27}

n(A) = 6

P(A) = n(A) / n = 6 / 20 = 3/10

Jadi, peluang terambil kartu yang bernomor habis dibagi 3 adalah 3/10.

2. Sebuah percobaan dilakukan dengan melambungkan 2 uang logam sebanyak satu kali. Tentukan:

a. Peluang muncul satu gambar dan

b. Frekuensi harapan muncul satu gambar jika uang logam dilambungkan 32 kali.

Jawab:

a. Ruang sampel dari percobaan = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}sehingga n(S) = 4.

B = kejadian muncul satu gambar = {(A,G), (G,A)}

Diperoleh n(B) = 2

P(B) = n(B) / n(S) = 2/4 = 1/2

Jadi, peluang muncul satu gambar adalah 1/2.

b. f_H(B) = P(B) × 32

             = (1/2) × 32

             = 16

Jadi, frekuensi harapannya adalah 16.

Share this post