MATERI GARIS SINGGUNG LINGKARAN PADA MATEMATIKA YANG MUDAH DIPAHAMI

Garis singgung lingkaran dapat digambarkan sebagai tali yang bersinggungan dengan roda sepeda yang dikendarai pemain sirkus.

A. GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan diameter atau jari-jari lingkaran. 

Titik potong garis singgung dengan lingkaran disebut titik singgung. Pada gambar garis t merupakan garis singgung lingkaran O dengan titik singgung di B. Garis t tegak lurus dengan jari-jari OB.

Sifat-sifat garis singgung lingkaran sebagai berikut.

a. Garis singgung lingkaran memotong lingkaran di satu titik.

b. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya.

2. Melukis Garis Singgung Lingkaran

Langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran sebagai berikut.

a. Lukislah lingkaran (O,r) dan tentukan sebuah titik A pada lingkaran tersebut.

b. Buatlah garis yang melalui titik O dan A.

c. Lukislah garis yang tegak lurus dengan OA dan melalui titik A. Beri nama garis itu dengan garis g.

d. Garis g merupakan garis singgung lingkaran (O,r).

Langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik di luar lingkaran sebagai berikut.

a. Buatlah lingkaran (O,r) dan titik A di luar lingkaran O.

b. Hubungkan titik O dan A.

c. Tentukan titik tengah OA, misal titik B dengan membagi OA menjadi dua sama panjang.

d. Lukis lingkaran dengan pusat di B dan jari-jari AB = BO sehingga memotong lingkaran (O,r) di P dan Q.

e. Hubungkan titik A dan titik P, titik A dan titik Q.

f. AP dan AQ merupakan garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran O.

B. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR DUA LINGKARAN 

1. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar

a. Lukislah lingkaran L₁ (A, r₁) dan lingkaran L₂ (B, r₂).

b. Lukislah lingkaran L₃ (A, r₁ + r₂).

c.  Lukislah garis sumbu AB untuk menentukan titik tengah AB yaitu P.

d. Lukislah lingkaran dengan pusat titik P dan berdiameter AB. Lingkaran ini memotong lingkaran L₃ di titik       Q dan R.

e. Hubungkan titik A dengan titik Q sehingga memotong lingkaran L₁ di titik S dan hubungkan titik A dengan      titik R sehingga memotong lingkaran L₁ di titik T.

f. Hubungkan titik B dengan titik Q dan R.

g. Lukislah garis tegak lurus BQ yang melalui titik B. Garis ini akan memotong lingkaran L₂ di titik U. 

   Selanjutnya hubungkan titik U dengan S sedemikian sehingga US sejajar BQ.

h. Lukislah garis tegak lurus BR yang melalui titik B. Garis ini akan memotong lingkaran L₂ di titik V.  

   Selanjutnya hubungkan titik V dengan titik T sedemikian sehingga VT sejajar BR.

i. Garis US dan VT merupakan garis singgung persekutuan dalam dari lingkaran L₁ dan L₂.

2. Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Jika R adalah jari-jari lingkaran M, r adalah jari-jari lingkaran N, dan d adalah panjang garis pusatnya, berlaku :

C. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM DUA LINGKARAN

1. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

a.       Lukislah lingkaran L₁ (A, r₁) dan lingkaran L₂ (B, r₂).

b.       Lukislah lingkaran L₃ (A, r₁ + r₂).

c.       Lukislah garis sumbu AB untuk menentukan titik tengah AB yaitu P.

d.       Lukislah lingkaran dengan pusat titik P dan berdiameter AB. Lingkaran ini memotong lingkaran L₃ di titik Q dan R.

e.       Hubungkan titik A dengan titik Q sehingga memotong lingkaran L₁ di titik S dan hubungkan titik A dengan titik R sehingga memotong lingkaran L₁ di titik T.

f.        Hubungkan titik B dengan titik Q dan R.

g.       Lukislah garis tegak lurus BQ yang melalui titik B. Garis ini akan memotong lingkaran L₂ di titik U. Selanjutnya hubungkan titik U dengan S sedemikian sehingga US sejajar BQ.

h.       Lukislah garis tegak lurus BR yang melalui titik B. Garis ini akan memotong lingkaran L₂ di titik V. Selanjutnya hubungkan titik V dengan titik T sedemikian sehingga VT sejajar BR.

i.         Garis US dan VT merupakan garis singgung persekutuan dalam dari lingkaran L₁ dan L₂.

2. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Jika R adalah jari-jari lingkaran M, r adalah jari-jari lingkaran N, dan d adalah panjang garis pusatnya, berlaku :

CONTOH

1. Panjang jari-jari sebuah lingkaran 5 cm. Jarak titik A di luar lingkaran dari pusat lingkaran 13 cm. Hitunglah panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik A.

Jawab:

Titik A di luar lingkaran O dan titik B merupakan titik singgung lingkaran. Panjang garis singgung = AB dan jarak titik A dari pusat lingkaran = OB. ∆OAB siku-siku di B, maka:

Jadi, panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik A adalah 12 cm. 

2. Pada gambar, PR dan QR merupakan garis singgung lingkaran. Panjang OP = 15 cm dan PR = 20 cm. 

Tentukan:

a. Panjang PQ dan

b. Panjang OT dan TR.

Jawab:

a. ∆OPR siku-siku di P, maka:

Luas ∆OPR    = ½ × OP × PR

                      = ½ × OR × PT

½ × OP × PR = ½ × OR × PT

OP × PR        = OR × PT

       PT           = (OP × PR) : OR

                      = (15 × 20) : 25 = 12 cm

TQ = PT = 12 cm

PQ = PT + TQ = 12 + 12 = 24 cm

Jadi, panjang PQ = 24 cm.

b. ∆OTP siku-siku di T, maka:

TR = OR - OT

      = 25 - 9 = 16 cm

Jadi, panjang OT = 9 cm dan TR = 16 cm.

3. Dua lingkaran berjari-jari 11 cm dan 4 cm. Jarak kedua lingkaran 10 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.

Jawab:

Misalkan kedua lingkaran tersebut berpusat di O dan P.

Jarak kedua pusat lingkaran = d = 11 + 10 + 4 = 25 cm;

panjang jari-jari lingkaran besar = R = 11 cm; dan 

panjang jari-jari lingkaran kecil = r = 4 cm.

Panjang garis singgung persekutuan luar:

Panjang garis singgung persekutuan dalam:

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan panjang garis singgung persekutuan dalam 20 cm.

Share this post