POLA BILANGAN PERSEGI PADA MATEMATIKA YANG MUDAH DIPELAJARI

Asri memiliki beberapa kartu berbentuk persegi. Ia menyusun kartu-kartu tersebut, dengan membentuk pola susunan tertentu.

Pertama, Asri meletakkan sebuah kartu. Selanjutnya, ia meletakkan 3 kartu lagi sehingga terbentuk susunan yang terdiri atas 4 kartu. Agar diperoleh bentuk susunan yang sama, ia meletakkan lagi sebanyak 5 kartu.Ada berapa kartu yang telah diletakkan Asri sekarang? Berapa kartu yang harus diletakkan lagi agar diperoleh bentuk susunan yang sama?

Untuk mempermudah pemahaman tentang masalah di atas, perhatikan gambar berikut.

Banyak kartu yang diletakkan Asri pada tiga pola pertama dapat dinyatakan dalam urutan 1, (1 + 3), dan   (1 + 3 + 5). Ternyata, susunan kartu-kartu tersebut merupakan penjumlahan bilangan ganjil. Jadi, banyak kartu yang diletakkan Asri sampai pola susunan ke-3 adalah 1 + 3 + 5 = 9, dan banyak kartu yang harus diletakkan pada susunan berikutnya adalah bilangan ganjil berikutnya setelah 5, yaitu 7.

Susunan kartu-kartu pada pola di atas, masing-masing membentuk sebuah persegi, dan jumlah kartu pada masing-masing pola merupakan luas persegi, sehingga bilangan-bilangan 1, 4, 9, 16,.... dinamakan pola bilangan persegi atau pola bilangan kuadrat (square numbers).

Hubungan antara susunan pola, banyak kartu, dan jumlah seluruh kartu, dapat dinyatakan dalam bentuk tabel berikut.

Susunan	Banyak kartu yang diletakkan	Jumlah seluruh kartu
1	1	1 = 1 × 1 = 12
2	1 + 3	4 = 2 × 2 = 22
3	1 + 3 + 5	9 = 3 × 3 = 32
4	1 + 3 + 5 + 7	16 = 4 × 4 = 42
n	1 + 3 + 5+ 7 + …. + k	n × n = n2

Dari tabel tersebut, diperoleh hubungan-hubungan berikut.

1. Pola bilangan persegi yang ke-n.

• Pola bilangan persegi yang ke-1 = 1 = 1²
• Pola bilangan persegi yang ke-2 = 4 = 2²
• Pola bilangan persegi yang ke-3 = 9 = 3²
• Pola bilangan persegi yang ke-4 = 16 = 4²

Jadi, pola bilangan persegi yang ke-n = n²

2. Penjumlahan bilangan ganjil berurutan.

Pada gambar kotak di atas, banyak persegi yang diarsir dan yang tidak diarsir pada masing-masing gambar menunjukkan penjumlahan bilangan ganjil, maka:

Suku-suku pada pola bilangan persegi 1,4,9,16,... seringkali dilambangkan dengan huruf berindeks P_n. Sebagai contoh, P₁ adalah suku pertama, P2 adalah suku kedua, dan seterusnya. Untuk memperoleh sembarang suku pada bilangan persegi, misalnya pola bilangan persegi yang ke-100, kita gunakan hasil penemuan seperti di atas yang disebut dengan rumus suku ke-n. Jadi, untuk menentukan sembarang bilangan persegi yang ke-n, dapat dinyatakan dengan rumus suku ke-n, yaitu P_n = n².

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

1. Rumus suku (pola) ke-n pada pola bilangan persegi adalah :

P_n = n × n = n²

2. Jumlah n bilangan ganjil yang pertama (mulai dari 1) = n²

atau 

CONTOH

1. Pada pola bilangan persegi, tentukan suku-suku berikut dengan menggunakan rumus!

a. Suku ke-11

b. Suku ke-24.

Jawab:

Suku ke-n pada pola bilangan persegi adalah P_n = n².

a. Suku ke-11 adalah P₁₁ = 11² = 121

b. Suku ke-24 adalah P₂₄ = 24² = 576.

2. Tentukan jumlah bilangan ganjil berikut!

a. 1 + 3 + 5 + 7 + ... sampai 10 suku.

b. Tujuh belas bilangan ganjil yang pertama.

Jawab:

a. 1 + 3 + 5 + 7 + ... sampai n suku = n²

Jadi, 1 + 3 + 5 + 7 + ... sampai 10 suku = 10² = 100.

b. Jumlah tujuh belas bilangan ganjil yang pertama adalah :

Share this post