BELAJAR AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT PADA MATEMATIKA DENGAN MUDAH DI SINI

Persamaan ax² + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu. Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat yang bersangkutan.

Anda masih ingat bahwa untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, di antaranya adalah dengan cara :

a.         Memfaktorkan,

b.        Melengkapkan kuadrat sempurna,

c.         Menggunakan rumus kuadrat, dan

d.        Menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c .

a.    Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut.

Jika a, b ∈ R dan berlaku a . b = 0, maka a = 0 atau b = 0

Catatan:

Pengertian a = 0 atau b = 0 dapat ditafsirkan sebagai:

1. a = 0 dan b ≠ 0

2. a ≠ 0 dan b = 0

3. a = 0 dan b = 0

CONTOH

Dengan cara memfaktorkan, tentukan penyelesaian atau akar-akar dari tiap persamaan kuadrat berikut:

a)      x² – 4 = 0

b)      x² – 6x + 9 = 0

Jawab:

a)      x² – 4 = 0

(x + 2)(x – 2) = 0

x + 2 = 0 atau x – 2 = 0

x = - 2 atau x = 2

Jadi, penyelesaiannya atau akar-akarnya adalah X₁ = - 2 atau X₂ = 2. Dalam bentuk himpunan penyelesaian (disingkat HP) ditulis sebagai HP = {-2,2}.

b)      x² – 6x + 9 = 0

(x – 3)(x – 3) = 0

x – 3 = 0 atau x – 3 = 0

x = 3

Jadi, penyelesaiannya adalah X₁ = X₂ = 3. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai 

HP = {3}.

Dalam hal demikian, persamaan kuadrat x² – 6x + 9 = 0 dikatakan mempunyai penyelesaian kembar atau akar kembar.

b.   Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk-bentuk seperti 9 = 3², 4x² = (2x)², (x + 1)², (2x – 3)² merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna. Pada hakikatnya, tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah atau mengurangi bagian suku tetapan, seperti diperlihatkan pada ilustrasi berikut ini.

Bentuk x² – 2x + 4 dapat dimanipulasi aljabar sebagai berikut.

x² – 2x + 4

(x² – 2x + 1)+ (- 1) + 4, mengapa ditambah dengan (- 1) ?

(x – 1)² + 3, bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna (x – 1)².

Bentuk - x² – 4x + 9 dapat dimanipulasi aljabar sebagai berikut.

- x² – 4x + 9

- (x² + 4x + 4) + (4) + 9, mengapa ditambah (+4) ?

- (x + 2)² + 13, bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna – (x + 2)².

Proses pengubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna semacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.

Sekarang, proses melengkapkan kuadrat akan digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat x² – 10x + 21 = 0 sebagai berikut.

Langkah 1: Melengkapkan kuadrat sempurna

x² – 10x + 21 = 0

x² – 10x = - 21

Kita ubah bagian ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna:

x² – 10x = - 21

(x² – 10x + 25) + (- 25) = - 21

(x – 5)² – 25 = - 21

(x – 5)² = 4

Langkah 2: Menentukan akar-akar

Dari persamaan yang terakhir ini, akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan memakai sifat sebagai berikut.

Jika p ≥ 0 dan berlaku x² = p, maka x = ±dengan p ≥ 0

Dengan menggunakan sifat di atas, maka diperoleh:

(x – 5)² = 4

(x – 5) =

(x – 5) = ± 2

x – 5 = +2 atau x – 5 = - 2

x = 7 atau x = 3

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x² – 10x + 21 = 0 adalah X₁ = 7 atau X₂ = 3. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan HP = {3,7}.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna melalui langkah-langkah sebagai berikut.

1. Ubahlah persamaan kuadrat semula ke dalam bentuk

(x + p)² = q, dengan q ≥ 0

melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir.

CONTOH

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut ini.

a)        x² – 25 = 0

b)        x² – 2x – 2 = 0

Jawab:

a)        x² – 25 = 0

x² = 25

  

x = ± 5

Jadi, akar-akarnya adalah X₁ = - 5 atau X₂ = 5, ditulis HP = {-5,5}.

b)        x² – 2x – 2 = 0

(x² – 2x + 1) + (-1) – 2 = 0

(x – 1)² – 3 = 0

(x – 1)² = 3

(x – 1) =

x – 1 =atau x – 1 =

Jadi, akar-akarnya adalah 

c.    Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memakai Rumus Kuadrat

Metode paling umum untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan ax² + bx + c = 0.

Manipulasi aljabar dalam proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat

ax² + bx + c = 0 dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Uraian di atas membuktikan berlakunya sifat berikut.

Sifat: Akar-akar Persamaan Kuadrat ax² + bx + c = 0

Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a ≠ 0, maka akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 ditentukan oleh

Catatan:

1. Akar-akar tersebut sering ditulis dalam bentuk:

2. X_1,2 merupakan cara penulisan singkat untuk X₁ atau X₂.

CONTOH

Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut ini.

a)    x² – 6x + 8 = 0

b)   2x² + 3x + 5 = 0

Jawab:

a)    x² – 6x + 8 = 0, koefisien-koefisiennya adalah a = 1, b = -6, dan c = 8

Jadi, akar-akarnya adalah X₁ = 2 atau X₂ = 4.

b)    2x² + 3x + 5 = 0, koefisien-koefisiennya adalah a = 2, b = 3, dan c = 5.

Oleh karenabukan merupakan bilangan real, persamaan kuadrat 2x² + 3x + 5 = 0 dikatakan tidak mempunyai penyelesaian. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dilambangkan dengan ϕ.

Share this post