BELAJAR MEMBUAT SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT SECARA UMUM PADA MATEMATIKA DENGAN MUDAH

Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan rumus f(x) = ax² + bx + c (a, b, c ∈ R dan a ≠ 0). Grafik fungsi kuadrat itu adalah sebuah parabola dengan persamaan y = ax² + bx + c.

Sketsa grafik fungsi kuadrat itu secara umum dapat digambarkan dengan cara menentukan terlebih dulu:

i)     Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y.

ii)   Titik puncak atau titik balik parabola.

iii)Persamaan sumbu simetri.

1. Titik Potong dengan Sumbu X dan Sumbu Y
a. Titik potong dengan sumbu X

Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika ordinat y = 0, sehingga ax² + bx + c = 0, yang merupakan persamaan kuadrat dalam X. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu X.

 Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, yaitu D = b² – 4ac, menentukan banyak titik potong dengan sumbu X.

1)      Jika b² – 4ac > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. Perhatikan Gambar (a) dan Gambar (b).

2)      Jika b² – 4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berimpit.Dalam hal demikian, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu X.

Perhatikan Gambar (c) dan Gambar (d).

3)      Jika b² – 4ac < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. Perhatikan Gambar (e) dan Gambar (f).

b. Titik potong dengan sumbu Y

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika absis x = 0; sehingga y = a(0)² + b(0) + c = c. Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,c).

1)      Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal O. Perhatikan Gambar (a) dan (b).

2)       Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal O. Perhatikan Gambar (c) dan (d).

3)      Jika c < 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di bawah titik asal O. Perhatikan Gambar (e) dan (f).

2. Titik Puncak atau Titik Balik dan Persamaan Sumbu Simetri
Titik puncak atau titik balik sebuah parabola dapat dicari dengan mengubah bentuk kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna. Dari bentuk kuadrat itu selanjutnya dapat pula diitentukan persamaan sumbu simetrinya.

Mari kita tinjau persamaan parabola berikut.

Untuk a > 0

Untuk a < 0

Persamaan sumbu simetri parabola

Dari keterangan di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

a.   
Parabola y = ax² + bx + c, dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0, mempunyai titik puncak atau titik balik

b.      Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas.

Jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.

c.       Persamaan sumbu simetri parabola y = ax² + bx + c adalah

Langkah-langkah untuk menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum sebagai berikut.

Langkah 1

Tentukan titik-titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.

Langkah 2

Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.

Langkah 3

Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.

CONTOH 

Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat

a)      f(x) = x² – 3x + 2

b)      f(x) = x² – 4x + 4

Jawab:

a)      Grafik fungsi kuadrat f(x) = x² – 3x + 2 adalah parabola dengan persamaan y = x² – 3x + 2, berarti 

a = 1, b = -3, dan c = 2.

Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.

i)     Titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0.

 x² – 3x + 2 = 0

(x – 1)(x – 2) = 0

X₁ = 1 atau X₂ = 2

 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (1,0) dan (2,0).

ii)   Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0.

y = (0)² – 3(0) + 2

   = 2

Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,2).

Koordinat titik puncak atau titik balik 

Oleh karena a = +1 (positif), maka P merupakan titik balik minimum, dan parabola terbuka ke atas.

Persamaan sumbu simetrinya adalah

Dari uraian di atas, sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x² – 3x + 2 dapat dilukiskan seperti pada gambar berikut.

b)      Grafik fungsi kuadrat f(x) = x² – 4x + 4 adalah parabola dengan persamaan y = x² – 4x + 4, berarti 

a = 1, b = - 4, dan c = 4.

Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y

(i)  Titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0.

x² – 4x + 4 = 0

(x – 2)(x – 2) = 0

X₁ = X₂ = 2

Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (2,0) atau grafik fungsi menyinggung sumbu X di titik (2,0).

(ii)  Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0.

y = (0)² – 4(0) + 4

   = 4

Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,4).

Koordinat titik puncak atau titik balik

Oleh karena a = +1 (positif), maka P merupakan titik balik minimum, dan parabolanya terbuka ke atas.

Persamaan sumbu simetrinya adalah

Dari uraian di atas, maka sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x² – 4x + 4 dapat dilukiskan seperti gambar berikut.

Share this post