CARA MUDAH BELAJAR BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT PADA MATEMATIKA

Perhatikan persamaan berikut.

x² – 3 = 0,

x² – 12x = 0,

x² – 6x + 10 = 0, dan

3x² – 2x + 5 = 0.

Perhatikan bahwa, setiap persamaan di atas mempunyai pangkat tertinggi bagi peubah x sama dengan dua. Persamaan yang mempunyai bentuk seperti itu disebut persamaan kuadrat dalam peubah x atau persamaan berderajat dua dalam peubah x.

Definisi: Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0, maka persamaan yang berbentuk

ax² + bx + c = 0

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

Dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a adalah koefisien dari x², b adalah koefisien dari x, dan c adalah suku tetapan.

Sebagai contoh, nilai-nilai a, b, c pada persamaan-persamaan kuadrat di atas adalah sebagai berikut:

x² – 3 = 0, nilai-nilai a = 1, b = 0, dan c = - 3

x² – 12x = 0, nilai-nilai a = 1, b = - 12, dan c = 0

x² – 6x + 10 = 0, nilai-nilai a = 1, b = - 6, dan c = 10

3x² – 2x + 5 = 0, nilai-nilai a = 3, b = - 2, dan c = 5

Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b, dan c dikenal beberapa nama persamaan kuadrat, di antaranya adalah:

Ø  Jika a = 1, maka persamaan menjadi x² + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa.

Ø  Jika b = 0, maka persamaan menjadi ax² + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna.

Ø  Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax² + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat tak lengkap.

Ø  Jika a, b, dan c bilangan-bilangan real, maka ax² + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat real.

Ø  Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional, maka ax² + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat rasional.

Selain itu, ada beberapa persamaan kuadrat yang dinyatakan tidak dalam bentuk baku. Misalnya:

2x² = 3x – 8

x² = 2(x² – 3x + 1)

2x – 3 = 5/x

  

Persamaan kuadrat semacam ini dapat diubah menjadi bentuk baku dengan melakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan pada umumnya. Sifat-sifat yang dimaksudkan itu adalah :

1.        Kedua ruas suatu persamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula.

2.        Kedua ruas suatu persamaan dapat dikali atau dibagi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama, asalkan bilangan atau variabel itu tidak sama dengan nol. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula.

CONTOH

Nyatakan persamaan-persamaan berikut ini ke dalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b, dan c.

     a)      2x² = 3x – 8

     b)      x² = 2(x² – 3x + 1)

     c)      2x – 3 = 5/x

Jawab:

a)        2x² = 3x – 8, kedua ruas ditambah dengan -3x + 8

2x² – 3x + 8 = 0

Jadi, a = 2, b = - 3, dan c = 8

b)        x² = 2(x² – 3x + 1)

x² = 2x² – 6x + 2, kedua ruas dikurangi dengan x²

0 = x² – 6x + 2

x² – 6x + 2 = 0

Jadi, a = 1, b = - 6, dan c = 2.

c)        2x – 3 = 5/x, kedua ruas dikalikan dengan x, dengan x ≠ 0

(2x – 3) x = 5

2x² – 3x = 5

2x² – 3x – 5 = 0

Jadi, a = 2, b = - 3, dan c = - 5.

Kedua ruas dikalikan dengan (x – 1)(x – 2), dengan (x – 1)(x – 2) ≠ 0

2(x – 2) + (x – 1) = 2 (x – 1)(x – 2)

2x – 4 + x – 1 = 2 (x² – 3x + 2)

3x – 5 = 2x² – 6x + 4

2x² – 9x + 9 = 0

Jadi, a = 2, b = - 9, dan c = 9.

Share this post