MARI BELAJAR DENGAN MUDAH TENTANG FUNGSI ATAU PEMETAAN PADA MATEMATIKA

A. FUNGSI ATAU PEMETAAN

Perhatikan diagram panah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B, dengan A = {a,b,c} dan 

B ={p,q,r,s}. Tampak bahwa setiap anggota himpunan A dihubungkan dengan tepat pada satu anggota himpunan B. Relasi yang berciri demikian disebut fungsi atau pemetaan.

Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota pada himpunan B.

Jika fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambing f : A→B (dibaca: f memetakan A ke B)

Pada gambar, fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B dapat dibaca sebagai berikut:

i)   f memetakan a ∈ A ke p ∈ B, dikatakan “p adalah peta a oleh f”, dan ditulis f(a) = p.

ii)  f memetakan b ∈ A ke q ∈ B, dikatakan “q adalah peta b oleh f”, dan ditulis f(b) = q.

iii) f memetakan c ∈ A ke r ∈ B, dikatakan “r adalah peta c oleh f”, dan ditulis f(c) = r.

Apabila fungsi f memetakan setiap x ∈ A dengan tepat ke satu anggota y ∈ B, maka f : x→y (dibaca: y adalah peta dari x oleh f).

Peta dari x ∈ A oleh fungsi f sering dituliskan sebagai f(x) dan bentuk f(x) disebut rumus bagi fungsi f.

Sebagai contoh, fungsi f : x → x² – 2x + 3 dapat dinyatakan:

a)   Rumus untuk fungsi f adalah f(x) = x² – 2x + 3 dengan x ∈ R.

b)      Peta dari 0 adalah f(0) = (0)² – 2(0) + 3 = 3,

Peta dari 1 adalah f(1) = (1)² – 2(1) + 3 = 2,  …. Dan seterusnya.

Ingat bahwa f(0) adalah nilai fungsi f(x) untuk x = 0.

Jadi, secara umum f(a) = a² – 2a + 3 adalah nilai fungsi f untuk x = a.

c)      Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan y = x² – 2x + 3.

B. DAERAH ASAL, DAERAH KAWAN, DAN DAERAH HASIL

Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B

(f : A→ B), maka:

i)          Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f,

ii)        Himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f,

iii)     Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.

Sebagai contoh, fungsi f pada gambar di atas dapat disebutkan:

i)          Daerah asalnya adalah A = {a,b,c},

ii)        Daerah kawannya adalah B = {p,q,r,s},

iii)     Wilayah hasilnya adalah {p,q,r}.

CONTOH 1

Diketahui fungsi f : x → 2x + 1 dengan daerah asal D = {x│1≤ x ≤ 3, x ∈ R}.

a)    Carilah nilai fungsi f untuk x = 1, x = 2, dan x = 3.

b)   Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius.

c)    Tentukan wilayah hasil fungsi f.

Jawab:

f : x → 2x + 1, rumus untuk fungsi f adalah f(x) = 2x + 1

a)        Nilai fungsi f :

Untuk x = 1 adalah f(1) = 2(1) + 1 = 3

Untuk x = 2 adalah f(2) = 2(2) + 1 = 5

Untuk x = 3 adalah f(3) = 2(3) + 1 = 7

b)        Grafik fungsi f dinyatakan oleh persamaan y = 2x + 1, yaitu suatu persamaan garis lurus. Beberapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (1,3), (2,5), dan (3,7). Titik-titik itu digambar pada bidang Cartesius, kemudian dihubungkan dengan ruas garis lurus seperti pada gambar berikut.

c)    Berdasarkan grafik fungsi f pada gambar di atas, jelas bahwa wilayah hasilnya adalah

{y│3 ≤ y ≤ 7, y ∈ R}.

C. BEBERAPA MACAM FUNGSI KHUSUS
1. Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Artinya untuk semua nilai x dalam daerah asal D_f hanya berpasangan dengan sebuah nilai dalam wilayah hasil W_f. Dalam bentuk pemetaan, fungsi konstan ditulis sebagai

f : x → f(x) = k

dengan x ∈ R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.

2. Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Ini berarti untuk sebuah nilai x dalam daerah asal D_f berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam wilayah hasil W_f. Fungsi identitas f(x) = x seringkali dituliskan sebagai I(x) = x (I menyatakan identitas).

3. Fungsi Linear
Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b ∈ R, a ≠ 0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat satu dalam variabel x.

4. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah y = f(x) = ax² + bx +c (a,b, dan c ∈ R, a ≠ 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat dua dalam variabel x.

Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax² + bx +c dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola.

5. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = │x│ untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk │x│dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi:
Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x ditentukan oleh aturan 

Oleh karena nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernah negatif, maka grafik fungsi y = f(x) = │x│ tidak pernah terletak di bawah sumbu x.

D. FUNGSI SURJEKTIF, FUNGSI INJEKTIF, DAN FUNGSI BIJEKTIF
1. Fungsi Surjektif
Untuk memahami pengertian fungsi surjektif, perhatikan himpunan A = {1,2,3,4} dan himpunan B = {a,b,c}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi-fungsi f dan g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.

f : A→B dengan f = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,c)}

g : A→B dengan g = {(1,a), (2,a), (3,b), (4,b)}

·        
Diagram panah untuk fungsi f = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,c)}diperlihatkan pada gambar berikut.

Dari gambar tampak bahwa wilayah hasil fungsi f adalah W_f = {a,b,c} = B. Suatu fungsi 

f : A→B dengan wilayah hasil W_f = B seperti itu dinamakan fungsi kepada B. Istilah lain untuk fungsi kepada adalah fungsi onto atau fungsi surjektif.

·        
Diagram panah untuk fungsi g = {(1,a), (2,a), (3,b), (4,b)}diperlihatkan pada gambar berikut.

Dari gambar tampak bahwa wilayah hasil fungsi adalah W_g = {a,b}dan W_g ⸦ B (dibaca : W_g himpunan bagian B). Suatu fungsi g : A→B dengan wilayah hasil W_g ⸦ B seperti itu dinamakan fungsi ke dalam B atau fungsi into.

Berdasarkan deskripsi di atas, fungsi kepada dan fungsi ke dalam dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi

Fungsi f : A→B disebut sebagai

·         Fungsi kepada B, jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau W_f = B.

·         Fungsi ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau W_f ⸦ B.

2. Fungsi Injektif
Pandanglah himpunan A = {1,2,3} dan himpunan B = {a,b,c}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f dan fungsi g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.

f : A→B dengan f = {(1,a), (2,b), (3,c)}dan

g : A→B dengan g = {(1,a), (2,b), (3,b)}.

·         Diagram panah fungsi f = {(1,a), (2,b), (3,c)}diperlihatkan pada gambar berikut.

Dari diagram panah tampak bahwa f(1) = a, f(2) = b, dan f(3) = c. Ini berarti bahwa untuk setiap anggota dalam himpunan A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di himpunan B.

Suatu fungsi f : A→B dengan setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B seperti itu disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif.

·         Diagram panah fungsi g = {(1,a), (2,b), (3,b)} diperlihatkan pada gambar berikut.

Dari diagram panah tampak bahwa g(1) = a, g(2) = b, dan g(3) = b. Perhatikan bahwa 2 ≠ 3, tetapi g(2) = g(3) = b. Oleh karena ada anggota yang berbeda di himpunan A tetapi mempunyai peta yang sama di himpunan B maka fungsi g bukan fungsi satu-satu atau bukan fungsi injektif.

Berdasarkan deskripsi di atas, fungsi satu-satu atau fungsi injektif dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi

Fungsi f : A→B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ ∈ A dengan a₁ ≠ a₂ berlaku f(a₁) ≠ f(a₂).

3. Fungsi Bijektif

·         Fungsi f : A→B dengan A = {0,1,2} dan B = {a,b,c}. Fungsi yang dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut f = {(0,a), (1,b), (2,c)} dengan diagram panahnya diperlihatkan pada gambar berikut.

 
Perhatikan bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif. Fungsi f yang bersifat surjektif dan juga injektif seperti itu disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

·         Fungsi g : A→B dengan A = {0,1,2} dan B = {a,b,c,d}. Fungsi g dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut g = {(0,a), (1,b), (2,c)} dengan diagram panahnya diperlihatkan pada gambar berikut.

 

Perhatikan bahwa fungsi g adalah fungsi injektif, tetapi bukan fungsi surjektif. Dalam hal demikian, maka fungsi g dikatakan bukan fungsi bijektif.

Berdasarkan deskripsi di atas, fungsi bijektif dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi

Fungsi f : A→B disebut fungsi bijektif, jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.

Share this post