PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA YANG MUDAH DIPELAJARI PADA MATEMATIKA

A.      PERNYATAAN (KALIMAT TERTUTUP)

Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan.

Perhatikan kalimat-kalimat berikut.

i)       Tangkaplah orang itu!

ii)     Berapa umurmu sekarang?

Kalimat-kalimat di atas tidak menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif), sehingga kalimat-kalimat ini bukan pernyataan.

Kalimat yang dapat digolongkan pernyataan adalah kalimat-kalimat yang menerangkan sesuatu (disebut kalimat deklaratif). Namun perlu diingat bahwa tidak semua kalimat deklaratif itu merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat deklaratif berikut ini.

i)       Menara itu tinggi.

ii)     Nasi soto enak.

Kalimat-kalimat di atas dapat benar saja atau salah saja, tetapi bersifat relatif (bergantung pada keadaan). Kalimat-kalimat tersebut juga bukan pernyataan.

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.

B.       LAMBANG DAN NILAI KEBENARAN SUATU PERNYATAAN

Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c, d, …., p, q, r, s, ….. dan seterusnya.

Sebagai contoh:

i)         Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat dilambangkan dengan memakai huruf p.

Ditulis p : 4 adalah bilangan genap.

ii)       Pernyataan “Besi adalah benda padat” dapat dilambangkan dengan huruf q.

Ditulis q : Besi adalah benda padat.

Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak empiris.

1.        Dasar Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh:

i)          “Ibu kota Jawa Timur adalah Surabaya”, merupakan pernyataan benar.

ii)        “Air adalah benda padat”, merupakan pernyataan salah.

2.        Dasar Tak Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.

Sebagai contoh:

i)          “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.

ii)        “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

Untuk pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani τ (dibaca: tau).

Sebagai contoh:

i)         τ(p) = B dibaca “nilai kebenaran pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenaran B”.

ii)       q : 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

Catatan:

Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang dilambangkan dengan angka 0 atau 1. Angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S dan angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B. Lambang nilai kebenaran 0 dan 1 dipakai dalam menganalisa suatu jaringan listrik.

C.      KALIMAT TERBUKA

Untuk memahami pengertian kalimat terbuka, perhatikan beberapa contoh kalimat berikut.

i)         2x + 3 = 11

ii)       y – 3 < 4

iii)     Itu adalah benda cair.

Kalimat-kalimat di atas tidak dapat dinyatakan benar atau salah sebelum ditetapkan nilai x, y, dan itu. Kalimat-kalimat yang berciri seperti itu dinamakan kalimat terbuka, sedangkan x, y, dan itu disebut peubah atau variabel. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

Sekarang perhatikan kalimat terbuka “2x + 3 = 11”. Misalkan semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan real R. Nilai x ∊ R pada kalimat terbuka “2x + 3 = 11” dapat diganti sehingga kalimat terbuka itu menjadi sebuah pernyataan.

Nilai kebenaran (benar atau salah) pernyataan yang diperoleh bergantung pada nilai x yang digantikan (disubstitusikan).

Sebagai contoh:

i)         Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”, merupakan pernyataan salah.

ii)       Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.

Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka “2x + 3 = 11” menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka itu. Himpunan yang anggota-anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut.

1.      Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.

2.      Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.

3.      Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka itu.

CONTOH

a)        Himpunan penyelesaian persamaann x + 3 = 8 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah 

       HP = {5}.

b)        Himpunan penyelesaian persamaan x² – 5x + 6 = 0 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {2,3}.

c)        Himpunan penyelesaian persamaan x² – x + 5 = 0 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah himpunan kosong atau Ө.

d)        Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x – 2 < 4 (x peubah pada himpunan bilangan cacah) adalah 

       HP = {0,1,2,3,4,5}.

Share this post